Assoziierung von Polynomen

Prof. Dr. Michael Skrzipek

Sei $ \{p_\nu\}_{\nu\in\mathbb{N}_0}$ eine Folge von Polynomen, die einer dreigliedrigen Rekursion genügen,

$\displaystyle p_{-1}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0,\qquad p_0(x)=1,$
$\displaystyle p_{n+2}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (\alpha_{n+1}x-\beta_{n+1})p_{n+1}(x)-\gamma_{n+1} p_n(x)\ ,\quad n\geq -1\ ,$

mit $ \alpha_n\ne 0\ne \gamma_n,\ n\geq 0$. Sie sind also orthogonal bzgl. eines quasi-definiten Momentenfunktionals $ {\cal L}$. Durch einen $ k$-Shift der Rekursionskoeffizienten erhalten wir die Folge $ \{p_n^{(k)}\}_{n\geq 0}$ der sogenannten $ k$-assoziierten Polynome, $ 0\leq k\in\mathbb{N}_0$, mit $ p_n^{(0)}=p_n,\ n\geq 0$.

Zwischen den Polynomen unterschiedlicher Assoziierungsstufen bestehen viele interessante Beziehungen. Diese können bei der Untersuchung von Linearkombinationen der $ p_\nu$,

$\displaystyle v_n:=\sum_{\nu=0}^n a_{\nu,n}p_\nu\ ,$

gewinnbringend benutzt werden, indem man diese geeignet "assoziiert", d.h. Summen der Gestalt

$\displaystyle v_{n-m}^{[k]}:=\sum_{\nu=0}^{n-m} a_{\nu+k} p_\nu^{(k)}\ ,\quad 0\leq k\leq m\leq n\ ,$

betrachtet. Durch geeignete Kombination von Shift- und Rekursionsstrategien erweisen sich diese "verallgemeinerten assoziierten Polynome" als nützliche Werkzeuge in vielen Bereichen der Numerik. Einige Anwendungen stellen wir in unserem Vortrag vor.