Über das Zusammenspiel von Geometrie, Analysis und Stochastik auf dem Sierpinski-Dreieck

Viele physikalische Phänomene (wie Diffusion, Wärmeausbreitung, elektrische Leitung) finden in oder auf irregulären Medien statt, die oft mit Hilfe von Fraktalen modelliert werden. Es ist daher notwendig, klassische Begriffe aus Analysis und Stochastik wie zum Beispiel "Laplace-Operator" oder "Brownsche Bewegung" auch für solche irregulären Mengen zu definieren. Eine besondere Schwierigkeit besteht bei der Definition von Differentialoperatoren darin, dass Fraktale im Allgemeinen keine Tangentialräume besitzen. Die relativ moderne Theorie der Dirichletformen erweist sich hier als wichtiges und nutzbringendes Werkzeug.

In so genannten "Einstein-Relationen" wird ausgedrückt, wie dabei Geometrie, Analysis und Stochastik ineinander greifen. Genauer gesagt wird ein Zusammenhang zwischen Hausdorff-Dimension (Geometrie), Spektraldimension (Analysis) und Walk-Dimension (Stochastik) einer Menge etabliert. Solche Relationen gelten für spezielle Klassen fraktaler Mengen; wir geben anfangs einige Beispiele, werden uns dann aber auf den Spezialfall des Sierpinski-Dreiecks beschränken.

Das Ziel des Vortrags ist es eher, Ideen und grundlegende Zusammenhänge zu veranschaulichen, als technische Details zu präsentieren. Alle verwendeten Begriffe werden kurz eingeführt, dennoch ist die Kenntnis der klassischen Definitionen des Laplace-Operators bzw. der Brownschen Bewegung sicherlich hilfreich.