Nichtlineare Approximation durch Exponentialsummen

In dem Vortrag wird die numerische Lösung von zwei nichtlinearen Approximationsproblemen vorgestellt. Viele Anwendungen in der Elektrotechnik, digitalen Signalverarbeitung und mathematischen Physik führen auf folgendes Problem: Es sei $h$ eine Exponentialsumme der Form $$ h(x) = \sum_{j=1}^M c_j\, {\mathrm e}^{{\mathrm i}f_j x}\,. $$ Man bestimme alle Kreisfrequenzen $f_j\in [-\pi, \, \pi)$, alle Koeffizienten $c_j\neq 0$ und die Anzahl $M$ der Summanden, wenn (gestörte) Abtastwerte $h(k)$ $(k=0,\ldots,2N)$ gegeben sind. Dieses Problem wird durch eine neuartige {\it approximative Prony-Methode} (APM) mit hoher Genauigkeit gelöst (siehe [1] - [4]). Die Konvergenz der APM beruht auf der Störungstheorie von Matrizen. Die Stabilität der Lösung kann sogar in der gleichmäßigen Norm gezeigt werden. \medskip Das zweite Approximationsproblem ist durch eine mikrobiologische Anwendung in der DNA-Fragmentanalyse motiviert. Es sei $f$ eine Linearkombination von Translaten einer 1-periodischen Fensterfunktion $\varphi$ der Form $$ f(x) = \sum_{j=1}^M c_j\, \varphi(x + s_j)\,. $$ Man bestimme alle Verschiebungen $s_j \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, alle Koeffizienten $c_j\neq 0$ und die Anzahl $M$, wenn (gestörte) Abtastwerte $f(\frac{k}{n})$ $(k=-\frac{n}{2}, \ldots, \frac{n}{2} - 1)$ gegeben sind. Mittels Fourier-Technik wird diese Aufgabe in das erste Problem überführt und mittels APM gelöst. Numerische Experimente zeigen die Vorzüge der neuen Methode.

[1] G. Beylkin & L. Monz\'{o}n, Appl. Comput. Harmon. Anal. 19 (2005), 17 - 48.
[2] D. Potts & M. T., Signal Process. 90 (2010), 1631 - 1642.
[3] D. Potts & M. T., Appl. Anal. 90 (2011), 609 - 626.
[4] T. Peter, D. Potts & M. T., SIAM J. Sci. Comput. 33 (2011), 1920 - 1947.