Numerische Lösung eines Phasenrekonstruktionsproblems

Prof. Dr. Manfred Tasche

Phasenrekonstruktionsprobleme sind von großem praktischen Interesse, da sie in verschiedenen Gebieten der Physik (wie z.B. Laseroptik, Astronomie, Elektronenmikroskopie, Kristallographie) auftreten.


In diesem Vortrag wird die numerische Lösung eines Phasenrekonstruktionsproblems für eine unbekannte glatte Funktion $ f: {\mathbb{R}} \to {\mathbb{C}}$ mit kompaktem Träger betrachtet. Dabei wird angenommen, dass nur endlich viele äquidistante Messungen von $ \vert f\vert$ und $ \vert\hat f\vert$ bekannt sind, wobei $ \hat f$ die Fourier-Transformierte von $ f$ bezeichnet. Wir approximieren $ f$ durch einen linearen Spline. Die entsprechenden Spline-Koeffizienten genügen dann einem schlecht gestellten nichtlinearen Gleichungssystem, das im Sinne von Tichonov regularisiert wird. Das regularisierte Minimierungsproblem wird mittels Gauss-Newton-Methode iterativ gelöst, wobei entsprechende Anfangsnäherungen durch eine Multilevel-Strategie bestimmt werden. Die gefundene Näherungslösung des Phasenrekonstruktionsproblems kann durch nachfolgende Gerchberg-Saxton-Iterationen noch verbessert werden. Numerische Testrechnungen illustrieren diese Methode.