Turáns Hypergraphenproblem

Ein klassisches Resultat von Turán aus der extremalen Graphentheorie besagt, dass unter allen Graphen auf n Ecken, die keine r paarweise benachbarten Ecken enthalten, genau der balancierte, vollständig (r-1)-partite Graph die maximale Kantenanzahl besitzt. In seinem Originalartikel von 1941 fordert uns Turán auf, solche Fragen auch in 3-uniformen Hypergraphen zu studieren (in denen es also statt 2-elementiger Kanten 3-elementige Hyperkanten gibt). Turán vermutete, dass die maximale Anzahl von Hyperkanten, die ein Hypergraph auf n Ecken haben kann, wenn er kein Tetraeder enthält, asymptotisch $\frac 59\binom{n}{3}$ beträgt. Dieses Problem ist trotz großer Anstrengungen, die in den letzten 78 Jahren unternommen worden sind, weiterhin völlig offen. Wir präsentieren einige aktuelle Resultate, die in ihrer Schwierigkeit irgendwo zwischen dem Satz von Turán und seinem Hypergraphenproblem liegen.