Approximationsräume in der Numerischen Analysis Cauchyscher singulärer Integralgleichungen

Dr. Uwe Luther

Wir betrachten die Integralgleichung $ (aI+bS+K)f=g\,,$ wobei $ S$ der Cauchysche singuläre Integraloperator auf $ (-1,1)$ ist, $ a,b$ gegebene Hölderstetige Funktionen sind und $ K$ ein schwach singulärer Integraloperator ist.

Auf der Basis von Abbildungseigenschaften der Integraloperatoren in gewissen Skalen von gewichteten Räumen stetiger Funktionen wird die gewichtet gleichmäßige Konvergenz von Quadraturformelverfahren für obige Gleichung untersucht, wobei als Ansatzfunktionen Produkte algebraischer Polynome mit einem speziellen, dem Operator $ aI+bS$ angepassten Gewicht betrachtet werden. Unter gewichtet gleichmäßiger Konvergenz verstehen wir dabei die Konvergenz in der Norm $ \Vert f\Vert _u=\Vert fu\Vert _{L^\infty(-1,1)},$ wobei $ u$ ein Potenzgewicht ist,

$\displaystyle u(x)=\prod_{i=1}^m\vert x-x_i\vert^{\alpha_i}$   mit$\displaystyle \quad\alpha_i>0\,.$

Durch die Betrachtung gewichteter Räume wird es möglich, auch im Fall unstetiger rechter Seiten $ g$ Konvergenzresultate für Quadraturformelverfahren zu beweisen. Genauer: Unter gewissen Voraussetzungen an $ a$, $ b$ und $ K$ kann man zeigen, dass man im Falle

$\displaystyle \inf_{p_n\in\Pi_n}\Vert g-p_n\Vert _u=O(n^{-\gamma})\,,\quad \gamma\le 2\,,$

( $ \Pi_n=\{$Poly.$ \ p:$   deg$ \,p<n\}$) die Ordnung $ O(n^{\varepsilon-\gamma})$ für den Verfahrensfehler erhält.

Gegenüber den aus der Literatur bekannten Spektralmethoden haben die hier betrachteten Verfahren den Vorteil der numerischen Realisierbarkeit im Falle beliebiger nichtkonstanter Koeffizienten $ a$,$ b$. Dies wird dadurch erreicht, dass im Falle variabler Koeffizienten $ a$ und $ b$ nicht die übliche Transformation des Haupteils $ aI+bS$ in einen polynominvarianten Operator verwendet wird, welche in der Regel nur mit großem Aufwand numerisch realisiert werden kann. Stattdessen wird eine einfachere Transformation verwendet und ein allgemeines Konzept zur Regularisierung von Operatorgleichungen und Untersuchung von Näherungsverfahren für die entstehenden regularisierten Gleichungen angewendet. Dieses Konzept basiert auf der Theorie der Approximationsräume. Dabei sind insbesondere Einbettungssätze für solche Räume von Interesse und die Möglichkeit, unbeschränkte Operatoren mit Hilfe von Approximationsräumen zu untersuchen.