Forschung
Approximation auf der Sphäre
Die Sphäre im R³ kann Modell der Erdoberfläche in der Meteorologie und Geophysik sein und als Oberfläche von Herz, Lunge oder Blase in der medizinschen Modellierung dienen. Satelliten, Flugzeuge, GPS u. a. liefern Daten über die Struktur oder physikalische Phänomene an verschiedenen Punkten der Erdoberfläche. In der Medizin erhalten wir Daten durch bildgebende Methoden. Für solche beliebigen Knotenmengen auf der Sphäre gibt es eine Reihe von Verfahren zur Approximation durch verschiedene Basisfunktionen.
Anwendungsbeispiel: Quadraturformeln über sphärische Dreiecke
Die Theorie von Quadraturformeln beschäftigt sich damit, wie bestimmte Integrale mit einer endlichen Summe aus Funktionswerten des Integranden gewichtet mit sogenannten Quadraturgewichten approximiert werden können. Ziel der Berechnung sind Quadraturformeln, die exakt für Polynome von gewissem Grad sind. Es gibt eine Vielzahl an Arbeiten zu Quadraturformeln auf der Sphäre. Bei einer gleichmäßigen Verteilung der Knoten zeigen globale Quadraturformeln ein günstiges Konvergenzverhalten. Liegen die Knoten auf der Sphäre aber stark geclustert vor, dann kann ein lokaler Ansatz, wie wir ihn verfolgt haben, von Vorteil sein und zu kleinen relativen Quadraturfehlern führen. Mit diesem neuen Verfahren bestimmen wir lokal Quadraturgewichte zu den beliebigen Knoten über jedes sphärische Dreieck einer Triangulierung.
Software
In the paper
we present an algorithm for computing quadrature formulas which are exact for Spherical harmonics on a spherical triangle. In the Mathematica package GaussianQuadratureSphericalTriangle.m you will find an implementation of this algorihm.
The files you can download here: 
are pdf versions (in english and in german) of Mathematica notebooks (QuadratureSphericalTriangle_eng.nb, QuadratureSphericalTriangle_ger.nb) where the algorihm and its implementation are described and where some examples give an impression of its performance.
For a first try and test it is enough to download the following files and save them in the current Mathematica working directory or in one of its subdirectories:
For an advanced use, e.g. small spherical triangles or high polynomial degrees, the download of
Literatur
- Beckmann, J., Mhaskar, H. N., Prestin, J. Local numerical integration on the sphere, GEM. Int. J. Geomath. 5 (2014), 143-162 (pdf)
- Beckmann, J., Mhaskar, H. N., Prestin, J. Quadrature formulas for integration of multivariate trigonometric polynomials on spherical triangles, GEM. Int. J. Geomath. 3 (2012), 119-138 (pdf)
- Mhaskar, H.N., Narcowich, F.J., Prestin, J., Ward, J.D. L^p Bernstein estimates and approximation by spherical basis functions, Math. Comp. 79 (2010), 1647-1679 [arXiv preprint]
- Schaeben, H., Hielscher, R., Fundenberger, J.-J., Potts, D., Prestin, J. Successive computations of an ODF while measuring its corresponding PDFs with respect to progressively locally refined spherical grids, in: Proceedings IAMG'2007, Beijing, August 26-31, 2007 (Eds. P. Zhao, F. Agterberg, Q. Chen), 48-50 (pdf)
- Lain Fernandez, N. and Prestin, J. Interpolatory Band-limited Wavelet Bases on the Sphere, Constr. Approx. 23 (1) (2006), 79-101 (pdf)
- Prestin, J., Rosça, D. On some cubature formulas on the sphere, J. Approx. Theory 142 (2006), 1-19 (pdf)
- Keiner, J. and Prestin, J. A Fast Algorithm for Spherical Basis Approximation, in: Frontiers in Interpolation and Approximation (Eds. N.K. Govil et. al.), Chapman & Hall/CRC, 2006, 259-286 (preprint)
- Schaeben, H., Bernstein, S., Hielscher, R., Beckmann, J., Keiner, J., Prestin, J. High Resolution Texture Analysis with Spherical Wavelets, in: Textures of Materials - ICOTOM 14, Materials Science Forum 495-497 (2005), 245-254 (published version)
- Hielscher, R., Bernstein, S., Schaeben, H. , v.d. Boogaart, K.G., Beckmann, J., Prestin, J. PDF-to-ODF inversion by approximation with spherical radial basis functions, in: Textures of Materials - ICOTOM 14, Materials Science Forum 495-497 (2005), 313-318 (published version)
Abschlussarbeiten
- Schwerdt, Kris Erik Triangulation und Scattered Data auf der Sphäre, Bachelorarbeit, 2010
- Beckmann, Judith Quadraturformeln über sphärische Dreiecke, Dissertation 2010 (pdf)
- Keiner, Jens Fast polynomial transforms, Dissertation, 2009 (pdf)
- Besler, Julia Konstruktion von Quadraturformeln auf der Sphäre, Diplomarbeit, 2008
- Kunis, Stefan Nonequispaced FFT - Generalisation and Inversion, Dissertation, 2006
- Kleberg, Deike Kubaturformeln auf der Sphäre, Diplomarbeit, 2006
- Keiner, Jens Fast Spherical Fourier Transforms and Applications, Diplomarbeit, 2005
- Beckmann, Judith Darstellung symmetrisierter Kugelfunktionen, Diplomarbeit, 2004
- Laín Fernández, Noemi Polynomial Bases on the Sphere, Dissertation, 2003
- Bearbeitet von
- Prof. Dr. Jürgen Prestin
- Dr. Judith Beckmann
- In Zusammenarbeit mit
- Dr. Frank Filbir, Institute of Biomathematics and Biometry, Helmholtz Zentrum München
- Dipl.-Math. Manuel Gräf, Technische Universität Chemnitz
- Dr. Ralf Hielscher, Institute of Biomathematics and Biometry, Helmholtz Zentrum München
- Prof. Dr. Hrushikesh Narhar Mhaskar, California State University, Los Angeles
- Prof. Dr. Daniel Potts, Technische Universität Chemnitz
- Prof. Dr. Daniela Rosça, Technical University of Cluj-Napoca
- Prof. Dr. Helmut Schaeben, Technische Universität Bergakademie Freiberg